「重ね合わせ」タイプのモデル応用その三: ポートフォリオ最適化問題

投資すなわちお金を「投ずる」こと、とはよく言ったもので、 例えば株などの資産を購入した途端に自分の手を離れて勝手に価値が上下し出します。 株 A に投資した人がいたとしましょう。株 A はその時点から週単位で 次のような値動きをしたとします。

20週間(約4ヶ月強)買い持ちしての結論は、 価格は 6% 程度の上昇ということになるので 傍目からはそれは良い判断でしたねえ、 ということになりますが、 リアルタイムで値動きを見ている立場に立って見ると気が気ではありません。 この人の気持を理解するため、グラフの書き方を変えて、 現在の価格を前の週の価格で割った「収益率」という指標を表示してみましょう。 前の週に比べて、この株に投じた自分の資産の価値が その時点で 何% 上げ下げしているか、ということを示した棒グラフです。

どうでしょう。例えば最初の 1 ヶ月( 4 週 ) までは前の週に比べて0.2%～0.5% ずつ 下がり続けてます。 6週目から大きくリカバーするので無事帳消しになっていますし、 17 週の下げは 15,16 週と上がった後なのでそんなに心配は要らないのですが、 それは後智恵というもの。その時々には先が見えないので、全く安まりません。 特に巨大なお金をお客様から預って資産を運用する機関投資家といった 立場の方であればなおさらです。

そんなに増えなくてもよいから、 安定的な動きをするように投資したい。 こういう場合に取る戦略が「資産配分(ポートフォリオ)」です。 具体的に述べましょう。 ここに A よりは動きが大人しい別の銘柄 B (買い持ちで 2.7% 程度上昇)があります。

収益率のグラフを描いて、A と並べてみました。

ここで 3 週目とか 11週目とか、A と上げ下げが逆のときがあることにご注目ください。 この二つの銘柄を同時に買って適当に重ねると 上げ下げを消せるような気がしませんか ? 重ね方を按配するには良い方法がありましたね。そうです。 資産配分の問題は「重ね合わせ」のパターンの数理最適化モデルで解くことができまして、 次がそのモデルを図に示したものです。 上げ下げを抑えながらもそれなりに収益を挙げたいので、 ここでは各週平均 0.2% (それでも複利計算だと 1.002 の 20乗 = 1.04 ですから 20週買い持ちで約 4% の収益)を目指すとしましょう。

セット販売の話に例えると、銘柄A あるいは Bを購入したらその上げ下げの履歴（可能性）が 「セット」になって付いてくる。それらを重ね合わせてできるだけ所望の性質の 上げ下げのパターンを得よう、ということです。 「できるだけ平らにしたい」、というのがちょっとこれまでと毛色が変わっていて 若干テクニカルですが(マルコビッツモデルと呼ばれるデファクトスタンダードな方法では、 平らであるということを分散が少ない、という風に表現します)、 ここでは深入りせずに、このモデルがやはり「重ね合わせパターン」の一種であることを 了解頂ければそれで大丈夫です。数理最適化の答を見ましょう。 「銘柄A と 銘柄B を約 60%、40% で分けなさい」というのが出ました。 混ぜ合わせた場合の収益率をAと比較してみたのが次の図です。

赤で示したのが最適な具合に混ぜあわせた場合の収益率です。 上げ下げが銘柄Aよりもなんとなく緩和されているのがわかります (見て取るのは難しいですが制約の効果で、平均の収益率も丁度 0.2% になっています)。 機関投資家の方々は数百から数千の銘柄を一括して相手にして 配分を決定する(ポートフォリオを組む)のですが、 数理最適化なら銘柄の数が大きくなっても「最適な」ポートフォリオを、 ほぼ秒単位で計算することができるので、銘柄数の多いポートフォリオを組む方には必携のツールとなっています。 ただし、お判りのように「最適」ポートフォリオは 銘柄同士の過去の上げ下げの傾向がこれからも続くと考えた場合の話であって、 時系列的な予測をするものでもなく（モデルでは収益の棒グラフの並び順は無視されていますね）、 未来の収益を決して約束するものではありません。 「最適」という言葉は便利なのでついつい使ってしまうのですが、 一定の枠組み(数理最適化モデル)の中だけの話であることはどうかご注意ください。

さて、「まんじゅう」から「ポートフォリオ」まで、若干長い道程でしたが、 重ね合わせタイプのモデルから生成される 数理最適化モデルが多数存在すること、 なんとなく体感頂ければ幸いです。 「重ね合わせタイプのモデル」基本パターンの絵を再掲しますが、 このタイプさえ理解しておけば、ラフな実感ですが 典型的な数理最適化のモデルの大体半分くらいは抑えた、と言えるように思います。

数理最適化モデルの自分なりの分類(重ね合わせ、保存、選択、マス目埋め、対応付け) に解説を加えてみようと軽い気持で始めたこの話題ですが、 いきなり 4 回も使ってしまいました。 次回からは数理最適化モデルのパターンの次のタイプ、 「保存」に進み、よりテンポ良く全体を概括したいと思います。